100次浏览 发布时间：2024-08-18 09:04:10
七年级下学期数学，寒假预习，垂线的概念与性质，6个知识点。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
01知识点一：垂线的定义
例如：如图，AB、CD互相垂直，0叫垂足，AB叫CD的垂线，CD也叫AB的垂线。可记为： AB⊥CD，垂足为O，或AB⊥CD干点O。如果遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。
∵∠AOD=90°(已知)，∴AB⊥CD (垂直的定义)
∵AB⊥CD于点O(已知)，∴∠AOD=∠AOC=∠BOC=∠BOD =90° (垂直的定义)
例题1：小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）
①∠AOD=90°； ②∠AOC=∠BOC：
③∠AOC=∠BOD； ④∠BOC+∠BOD=180°
⑤∠AOC+∠BOD=180°
分析：根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可。
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；②∠AOC=∠BOC，可以得出AB⊥CD：③∠AOC=∠BOD，不能得到AB⊥CD；④∠BOC+∠BOD=180°，不能得到AB⊥CD；⑤∠AOC+∠BOD=180°，可以得出AB⊥CD．故①②⑤共3个．
02知识点二：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
例题2：下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数有（ ）
解：①具有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角为对顶角，故①不正确．
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故②不正确．
③互为邻补角的两个角的和为180°，那么互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故③正确．
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④不正确．
综上：正确的有③，共1个．
本题主要考查对顶角、点到直线的距离、邻补角、垂线，熟练掌握对顶角的定义、点到直线的距离、邻补角、垂线是解决本题的关键。
例题3：如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC=90°，则下列语句错误（ ）
A．线段PB的长叫作点P到直线l的距离
B．线段AC的长叫作点C到直线AP的距离
C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的
D．线段PA的长叫作点A到直线PC的距离
分析：根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离”和“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”进行判断，即可解答。
解：A、线段PB的长度叫作点P到直线l的距离，故原说法正确，故A选项不符合题意；
B、线段PC的长度叫作点C到直线AP的距离，故原说法错误，故A选项符合题意；
C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故原说法正确，故C选项不符合题意；
D、线段PA的长叫作点A到直线PC的距离，故原说法正确，故D选项不符合题意．
03知识点三：垂线的画法
垂线的画法：
（1）放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；
（2）靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；
（3）移：移动三角板到己知点；
（4）画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线。
例题4：下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可，选D。
04知识点四：垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意：过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
例题5：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
05角度的计算
例题6：如图：AB、CD、EF交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠COE=28°，求∠AOG的度数．
解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°．
∵∠FOD与∠BOE是对顶角，
∴∠COE=∠FOD=28°，
∴∠BOE=90°-∠COE=62°，
∴∠AOE=180°-62°=118°，
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG=1/2∠AOE=1/2×118°=59°．
